Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc CD.

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AB; MN = 12 AB = a2                                     (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

⇒ MP // CD; MP = 12 CD = a2                                        (2)

Từ (1) và (2) ⇒MN = MP = a2

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = a32

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = a32

 Xét tam giác BCP có: BP = CP = a32

⇒ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC ⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN = CP2−CN2=a322−a22=a22 

Xét tam giác MNP:

MP² + MN² = a22+a22=2a24 ; PN² = a222=2a24

⇒ MP² + MN² = PN²

 Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = NMP^=90°.

Vậy AB ⊥CD.