Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng

48/50

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa hai mặt phẳng và có số đo là α thỏa mãn tanα=527. Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE và BCDE lần lượt là V1,V2. Tính tỉ số V1V2.

Giải thích

Đáp án C

Ta có: P≡EBC

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của BC và I=AG∩EF

Do ABCD là tứ diện đều ⇒AG⊥BCD⇒AG⊥FD

AG=AD2−DG2=a2−a332=a63

Mặt khác: ABCD là tứ diện đều nên AF⊥BCAB=AC và DF⊥BCAB=AC ⇒AFD⊥BC⇒EF⊥BC

Ta có: EF⊥BCDF⊥BCP∩DBC=BC⇒EBC,DBC=EF,DF=EFD^ (vì AG⊥FD).

⇒EFD^=α

IG=FG.tanα=a36.527=5a642

Dựng EK//FD,K∈AG và đặt AEAD=x

Suy ra: AKAG=x⇒AK=xAG=x.a63

EKGD=x⇒EK2FG=x⇒EKFG=2x⇒IKIG=2x⇒IK=2x.IG=2x.5a642

Ta có: AG=AK+IK+IG⇔a63=x.a63+2x.5a642+5a642⇒x=38

⇒V1V1+V2=AEAD=38⇒V1V2=35.