Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là

Lời giải

Gọi E là giao điểm của JK và CD, H là giao điểm của EI và AD

Suy ra thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK) là tứ giác IJKH

Xét tam giác ABC có I,J lần lượt là trung điểm của AC, BC

Nên IJ là đường trung bình

Suy ra IJ // AB

Ta có AB ⊂ (ABD), IJ ⊂ (IJK), AB // IJ (chứng minh trên)

Suy ra (ABD) ∩ (IJK) = HK // AB // IJ

Do đó IJKH là hình thang                    (1)

Vì ABCD là tứ diện đều (giả thiết) nên AC = BC, \(\widehat {CBD} = \widehat {CA{\rm{D}}}\), AD = BD

Ta có AC = BC, AC = 2AI, BC = 2BJ

Suy ra AI = BJ

Xét tam giác ABD có HK // AB và BK = 2KD

Suy ra AH = 2 HD

Mà AD = BD nên AH = BK

Xét tam giác AHI và tam giác BKJ có

AH = BK (chứng minh trên)

\(\widehat {KBJ} = \widehat {HAI}\) (chứng minh trên)

AI = BJ (chứng minh trên)

Do đó △AHI = △BKJ (c.g.c)

Suy ra HI = KJ (hai cạnh tương ứng)                       (2)

Từ (1) và (2) ta có IJKH là hình thang cân

Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK) là hình thang cân.