Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED=2CE. Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

16/22

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. $E$ là điểm trên đoạn $CD$ sao cho $ED = 2CE$. Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a) Có \[6\] vectơ (khác vectơ \[\overrightarrow 0 \]) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện.

b) Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB\,} \] và \[\overrightarrow {BC\,} \] bằng \[60^\circ \].

c) Nếu \[\overrightarrow {BE\,} = m\overrightarrow {BA\,} + n\overrightarrow {BC\,} + p\overrightarrow {BD\,} \] thì \[m + n + p = \frac{2}{3}\].

d) Tích vô hướng $\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BE} = \frac{{{a^2}}}{6}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. $E$ là điểm trên đoạn $CD$ sao cho $ED = 2CE$. Các mệnh đề sau đúng hay sai ? (ảnh 1)$

a) Các vectơ (khác vectơ \[\overrightarrow 0 \]) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: \[\overrightarrow {AB\,} \],\[\overrightarrow {AC\,} \],\[\overrightarrow {AD\,} \],\[\overrightarrow {BA\,} \],\[\overrightarrow {BC\,} \],\[\overrightarrow {B{\rm{D}}\,} \],\[\overrightarrow {CA\,} \],\[\overrightarrow {CB\,} \],\[\overrightarrow {C{\rm{D}}\,} \],\[\overrightarrow {DA\,} \],\[\overrightarrow {DB\,} \],\[\overrightarrow {DC\,} \]. Do đó có \[12\] vectơ thỏa mãn yêu cầu. Vậy mệnh đề sai.

b) \[(\overrightarrow {AB\,} ,\overrightarrow {BC} ) = {180^0} - (\overrightarrow {BA\,} ,\overrightarrow {BC} ) = {180^0} - \widehat {ABC} = {120^0}\]. Vậy mệnh đề sai.

c) \[\overrightarrow {BE\,} = \overrightarrow {BC\,} + \overrightarrow {CE\,} = \overrightarrow {BC\,} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD\,} = \overrightarrow {BC\,} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD\,} - \overrightarrow {BC\,} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC\,} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BD\,} \].

Do đó \[m = 0\],\[n = \frac{2}{3}\],\[p = \frac{1}{3}\]. Suy ra \[m + n + p = 1\].

Vậy mệnh đề sai.

Ta có: $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} } \right) - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {AB} $

$ = \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) - \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} $

Suy ra: $\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AD} .\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}.\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}.{\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} $

$ = \frac{2}{3}.a.a.\cos 60^\circ + \frac{1}{3}{a^2} - a.a.\cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{6}$.

Vậy mệnh đề đúng.