Cho tứ diện đều A B C D có cạnh bằng 15 . Biết độ dài của −−→ A B + −−→ A C + −−→ A D bằng a √ 6 , khi đó giá trị của a là?

Gọi \(G\) là trọng tâm tâm giác \(BCD\), \(M\) là trung điểm \(CD\).

Ta có \[\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  =  - 3\overrightarrow {GA}  = 3\overrightarrow {AG}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {3\overrightarrow {AG} } \right| = 3AG\].

Xét tam giác đều \(BCD\) có \(BM = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BM = 5\sqrt 3 \).

Vì tứ diện \(ABCD\) đều nên \(AG \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow \widehat {AGB} = 90^\circ \).

Xét tam giác \(ABG\) có \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{\left( {5\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 5\sqrt 6 \).

Do đó \[\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right| = 3AG = 15\sqrt 6  \Rightarrow a = 15\].

Vậy giá trị của \(a = 15\).