Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho

47/50

Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC=4BM,AC=3AP,BD=2BN . Tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng MNP bằng

713.

715.

815.

813.

Giải thích

: Đáp án A

Trong mặt phẳng DBC vẽ MN cắt CD tại K.

Trong mặt phẳng ACD vẽ PK cắt AD tại Q.

Theo định lý Mennelaus cho tam giác ΔBCD, cát tuyến MNK ta có: KCKD.NDNB.MBMC=1⇒KCKD=3.

Theo định lý Mennelaus cho tam giác KCKD.QDQA.PAPC=1⇒QAQD=32⇒QAAD=35., cát tuyến PQK ta có:

Đặt V=VABCD, ta có:

VB.APQVB.ACD=SAPQSACD=APAC.AQAD=15⇒VB.APQ=15VB.ACD⇒VB.PQDC=45V.

VP.BMNVP.BCD=SBMNSBCD=BMBC.BNBD=18 và VP.BCDV=SCPDSACD=CPCA=23⇒VP.BMN=112V.

VQ.PBNVQ.PBD=SPBNSPBD=12 và VBQPDV=SDQPSACD=SDQPSDAP.SADPSACD=215⇒VQPBN=115V.

Suy ra VAB.MNPQV=VA.BPQ+VP.BNM+VQ.PBNV=720⇒VAB.MNPQVCD.MNPQ=713.