Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức GA + GB + GC + GD = 0. Chứng minh rằng tọa độ của điểm G được

4/8

Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng tọa độ của điểm G được cho bởi công thức:

x_G = \(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\);

y_G = \(\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\);

z_G= \(\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} - 4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \)

\(\frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow {OG} \)

Do đó, \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\).

Vậy từ đây, với biểu thức tọa độ của phép cộng vectơ và phép nhân một số với một vectơ ta được:

x_G = \(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\);

y_G = \(\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\);

z_G= \(\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\).