Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD và G là trung điểm của đoạn MN . Gọi A1 là giao điểm của AG và ( BCD ) . Khẳng đị

6/22

Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi \[M,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,\,CD\] và \[G\] là trung điểm của đoạn \[MN\]. Gọi \[{A_1}\] là giao điểm của \[AG\] và \[\left( {BCD} \right)\]. Khẳng định nào sau đây đúng?

${A_1}$ là tâm đường tròn tam giác $BCD$.

${A_1}$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$.

${A_1}$ là trực tâm tam giác $BCD$.

${A_1}$ là trọng tâm tam giác $BCD$.

Giải thích

Chọn D

$Trong \[\left( {ABN} \right)\], giả sử (ảnh 1)$

Trong \[\left( {ABN} \right)\], giả sử \[AG \cap BN = {A_1}\]\[ \Rightarrow {A_1} = AG \cap \left( {BCD} \right)\]

Xét tam giác \[BMN\], áp dụng định lý Menelauyt cho 3 điểm thẳng hàng \[A,\,G,\,{A_1}\] ta có

\[\frac{{{A_1}N}}{{{A_1}B}}.\frac{{GM}}{{GN}}.\frac{{AB}}{{AM}} = 1\]\[ \Rightarrow \frac{{{A_1}N}}{{{A_1}B}} = \frac{1}{2}\].

Xét tam giác \[BCD\] có đường trung tuyến \[BN\] và \[\frac{{{A_1}N}}{{{A_1}B}} = \frac{1}{2}\]\[ \Rightarrow \]${A_1}$ là trọng tâm tam giác $BCD$