Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P

Gọi Ta có \[Q = AD \cap \left( {MNP} \right).\]

Thiết diện \[ABCD\] được cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] là tứ giác \(MNQP\).

Áp dụng định lsi Menelaus trong các tam giác \(BCD\) và \(ACD\), ta có:

\(\frac{{NB}}{{ND}} \cdot \frac{{ID}}{{IC}} \cdot \frac{{MC}}{{MB}} = 1 \Rightarrow \frac{{ID}}{{IC}} = \frac{1}{4}\) và \[\frac{{ID}}{{IC}} \cdot \frac{{PC}}{{PA}} \cdot \frac{{QA}}{{QD}} = 1 \Rightarrow \frac{{QA}}{{QD}} = 4\].\[{V_{ABCD}} = V,\,\,I = MN \cap CD,\,\,Q = IP \cap AD.\]

Áp dụng bài toán tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác, ta có

•\[\frac{{{V_{ANPQ}}}}{{{V_{ANCD}}}} = \frac{{AP}}{{AC}} \cdot \frac{{AQ}}{{AD}} = \frac{2}{5}\]\( \Rightarrow {V_{ANPQ}} = \frac{2}{5}{V_{ANCD}} = \frac{2}{{15}}V\) suy ra \({V_{N.PQDC}} = \frac{1}{3}V - \frac{2}{{15}}V = \frac{1}{5}V\);

• \[\frac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{CBNA}}}} = \frac{{CM}}{{CB}} \cdot \frac{{CP}}{{CA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{CMNP}} = \frac{1}{3}{V_{CBNA}} = \frac{2}{9}V\] suy ra \({V_2} = {V_{N.PQDC}} + {V_{CMNP}} = \frac{{19}}{{45}}V.\)

Do đó \({V_1} = V - {V_2} = \frac{{26}}{{45}}V.\) Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{26}}{{19}}.\)

Đáp án: \[\frac{{26}}{{19}}\].