Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD , BC ; G là trọng tâm của tam giác BCD . Chứng minh rằng: a) vecto MN = 1 /2 ( vecto AB + vecto DC ) .

a)Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} ,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \).

Do đó \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} \).

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AD\) nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \vec 0\).

Vì \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) nên \(\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \vec 0\).

Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).

b)Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).

Do đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).