Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. G là trung điểm của

26/150

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,{\mkern 1mu} N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $CD$. $G$ là trung điểm của \[MN\], \[I\] là giao điểm của đường thẳng \[AG\] và mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{GI}}{{GA}}\]?

$\frac{{GI}}{{GA}} = \frac{1}{4}$

$\frac{{GI}}{{GA}} = \frac{1}{5}$

$\frac{{GI}}{{GA}} = \frac{1}{2}$

$\frac{{GI}}{{GA}} = \frac{1}{3}$

Giải thích

Phương pháp giải:

Vẽ hình sau đó sử dụng định lý Ta-lét trong tam giác.

Giải chi tiết:

$Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,{\mkern 1mu} N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh (ảnh 1)$

Trog $\left( {ABN} \right)$qua $M$kẻ đường thẳng song song với $AI$ cắt $BN$ tại $J$.

Xét tam giác $MNJ$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{GI//MJ}\\{GN = GM{\mkern 1mu} \left( {gt} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow GI = \frac{1}{2}.MJ{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)$

Xét tam giác $BAI$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MJ//AI}\\{MA = MB}\end{array}} \right. \Rightarrow MJ = \frac{1}{2}.AI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)$

Từ (1) & (2) $ \Rightarrow GI = \frac{1}{4}.AI \Leftrightarrow \frac{{GI}}{{GA}} = \frac{1}{3}.$