Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm

a) S,b) Đ,c) Đ,d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Vì \(G\) là trung điểm của \(IJ\) nên \(\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {JG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {JI}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {JI}  = \overrightarrow {JI}  \ne \overrightarrow 0 \). Do đó, ý a) sai.

– Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CJ} \\\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DJ} \end{array} \right.\).

Suy ra \(2\overrightarrow {IJ}  = \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CJ}  + \overrightarrow {DJ} } \right) = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \). Vậy ý b) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right)\)

\( = 2\overrightarrow {GI}  + 2\overrightarrow {GJ}  = 2\left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Vậy ý c) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) = 4\overrightarrow {MG} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 4MG\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MG\) nhỏ nhất, tức là \(MG = 0\) hay \(M \equiv G\).

Do đó, ý d) đúng.