Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng đường thẳng G1G2 song song với đường thẳng CD.

Lời giải

+) Trong mặt phẳng ABC, kẻ đường trung tuyến AM (M ∈ BC).

Do G₁ là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).

+) Trong mặt phẳng ABD, kẻ đường trung tuyến AN (N ∈ BD).

Do G₂ là trọng tâm của tam giác ABD nen \(\frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).

+) Xét tam giác AMN, có \(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) nên G₁G₂ // MN (định lí Thalès đảo).

+) Xét tam giác BCD, có: M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Do đó MN là đường trung bình của tam giác BCD.

Suy ra MN // CD.

Mà G₁G₂ // MN (chứng minh trên) nên G₁G₂ // CD.