Cho tứ diện ABCD]. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và điểm M thuộc cạnh AB sao cho AM = 2 BM . Đẳng thức nào sau đây là đúng?

1/22

Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[BCD\] và điểm \[M\] thuộc cạnh \[AB\] sao cho \[AM = 2BM\]. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

\(\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \).

\(\overrightarrow {MG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \).

\(\overrightarrow {MG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \).

\(\overrightarrow {MG} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \).

Giải thích

Cho tứ diện ABCD]. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và điểm M thuộc cạnh AB sao cho AM = 2BM. Đẳng thức nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Ta có \[M\] thuộc cạnh \[AB\] và \[AM = 2BM\] nên \[\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \].

Do \[G\] là trọng tâm tam giác \[BCD\] nên \[3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \] hay \[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\].

Mà \[\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AM} \] nên \[\overrightarrow {MG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \].