Cho tứ diện ABCD Đặt vecto AB = vecto a

32/38

Cho tứ diện \(ABCD\). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Đẳng thức nào sau đây đúng?

\(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c .\)

\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)

\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)

\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\) \( \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} .\)

Ta có: \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right).\)

\( = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)