Cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh là A ( 3 ; 0 ; 1 ) , B ( 1 ; 2 ; 4 ) , C ( 0 ; 5 ; 3 ) , D ( 2 ; 3 ; 4 ) . Thể tích của tứ diện ABCD là:

31/50

Cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ các đỉnh là \(A\left( {3;0;1} \right),B\left( {1;2;4} \right),C\left( {0;5;3} \right),D\left( {2;3;4} \right)\). Thể tích của tứ diện \(ABCD\) là:

\(\frac{8}{3}\).

\(\frac{4}{3}\).

Giải thích

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;3; - 1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {2; - 2;1} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {1;1;0} \right)\).

\(BC = \sqrt {11} ,CD = 3,BD = \sqrt 2 \Rightarrow B{D^2} + C{D^2} = B{C^2} \Rightarrow \) tam giác \(BCD\) vuông tại \(D\).

Khi đó, diện tích tam giác \(BCD\) bằng \({S_{BCD}} = \frac{{BD \cdot CD}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Có \(\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1; - 1; - 4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

Khi đó phương trình mặt phẳng qua 3 điểm \(B,C,D\) là: \(x - y - 4z + 17 = 0\).

Khi đó, khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là:

\(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 0 - 4 \cdot 1 + 17} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }} = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\).

Thể tích tứ diện \(ABCD\) là: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) \cdot {S_{BCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{8\sqrt 2 }}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = \frac{8}{3}\). Chọn B.