Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh

6/10

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC, BD, DA. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

MNPQ là hình vuông;

MNPQ là hình bình hành;

MNPQ là hình chữ nhật;

MNPQ là hình thoi.

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh (ảnh 1)

Đặt AB = AD = AC = a.

Ta có: $\vec{C D} . \vec{A B} = (\vec{A D} - \vec{A C}) . \vec{A B}$

$= \vec{A D} . \vec{A B} - \vec{A C} . \vec{A B} = A B . A D . \cos 60 ° - A B . A C . \cos 60 ° = a . a . \frac{1}{2} - a . a . \frac{1}{2} = 0$

Do đó, AB vuông góc với CD.

Dễ thấy MN, PQ lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC và ABD.

Khi đó, MN // PQ // AB và MN = PQ = $\frac{A B}{2}$ = $\frac{a}{2}$ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có:

MN // AB

NP // CD (do NP là đường trung bình của tam giác BCD)

AB ⊥ CD

Khi đó, MN ⊥ NP.

Do đó, MNPQ là hình chữ nhật.