Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(4; 0; 2), B(0; 5; 1), C(4; −1; 3), D(3; −1; 5). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ABC) và (ABD). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua cạnh BC

26/33

Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(4; 0; 2), B(0; 5; 1), C(4; −1; 3), D(3; −1; 5).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\], \(\overrightarrow {BC} = \left( {4; - 6;2} \right)\).

a) Mặt phẳng (ABC) có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right)\] là cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (ABC) nhận

\(\overrightarrow n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \frac{1}{4}\left( {5.1 - 1.1; - 1.0 + 1.4;\left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) - 0.5} \right) = \left( {1;1;1} \right)\).

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(4; 0; 2) và \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là (x – 4) + y + (z – 2) = 0 Û x + y + z – 6 = 0.

Mặt phẳng (ABD) nhận \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5; - 1} \right)\], \[\overrightarrow {AD} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\] làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (ABD) nhận

\(\overrightarrow {n'} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {5.3 - 1.1;\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 3.4;\left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) + 1.5} \right) = \left( {14;13;9} \right)\).

Mặt phẳng (ABD) đi qua điểm A(4; 0; 2) và \(\overrightarrow {n'} = \left( {14;13;9} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 14(x – 4) + 13y + 9(z – 2) = 0 Û 14x + 13y + 9z – 74 = 0.

b) Mặt phẳng (P) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( {4; - 6;2} \right)\), \[\overrightarrow {AD} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\] làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (P) nhận

\[\overrightarrow {{n_P}} = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \frac{{ - 1}}{2}\left( { - 6.3 + 1.2;2.\left( { - 1} \right) - 3.4;4.\left( { - 1} \right) - 1.6} \right) = \left( {8;7;5} \right)\].

Mặt phẳng (P) đi qua điểm B(0; 5; 1) và nhận \[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {8;7;5} \right)\] làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 8x + 7(y – 5) + 5(z – 1) = 0 Û 8x + 7y + 5z – 40 = 0.