Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một

Ta có: \(\frac{{{V_{D.APN}}}}{{{V_{D.ABC}}}} = \frac{{DP}}{{DB}} \cdot \frac{{DN}}{{DC}} = \frac{1}{4};\)

\(\frac{{{V_{B.APM}}}}{{{V_{B.ACD}}}} = \frac{{BP}}{{BD}} \cdot \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{4};\frac{{{V_{C.AMN}}}}{{{V_{C.ABD}}}} = \frac{{CM}}{{CB}} \cdot \frac{{CN}}{{CD}} = \frac{1}{4}.\)

Mà: \({V_{AMNP}} = {V_{ABCD}} - {V_{DAPN}} - {V_{BAPM}} - {V_{CAMN}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}}\)

\( = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD} \right) = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{6}3a \cdot 6a \cdot 4a} \right) = 3{a^3}\). Chọn B.