Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Đáp án

	ĐÚNG	SAI
Hình chiếu vuông góc của đỉnh Alên mặt phẳng (BCD) trùng với trọng tâm của tam giác BCD		x
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\)	x
Tam giác BCD có đúng 2 góc nhọn		x

Phương pháp giải

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD)

Chứng minh H là trực tâm của tam giác BCD

b) Gọi \(E = DH \cap BC\). Chứng minh \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)

c) Đặt \(AB = x;\,\,AC = y{\rm{ v\`a  }}AD = z\). Sử dụng định lí cos.

Lời giải

a) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \((BCD)\) thì \(AH \bot (BCD)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot AB}\\{AD \bot AC}\end{array} \Rightarrow AD \bot (ABC) \Rightarrow AD \bot BC} \right.\).

Mặt khác \(AH \bot BC \Rightarrow BC \bot (ADH) \Rightarrow BC \bot DH\)

Tương tự chứng minh trên ta có: \(BH \bot CD\)

Do đó \(H\) là trực tâm của tam giác BCD.

=> Mệnh đề 1 sai

b) Gọi \(E = DH \cap BC\), do \(BC \bot (ADH) \Rightarrow BC \bot AE\).

Xét  vuông tại \(A\) có đường cao \({\rm{AE}}\) ta có:

\(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}{\rm{. }}\)

Lại có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\) (đpcm).

=> Mệnh đề 2 đúng.

c) Đặt \(AB = x;AC = y\) và \(AD = z\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC = \sqrt {{x^2} + {y^2}} }\\{BD = \sqrt {{x^2} + {z^2}} }\\{CD = \sqrt {{y^2} + {z^2}} }\end{array}} \right.\)

Khi đó \(\cos B = \frac{{B{C^2} + B{D^2} - C{D^2}}}{{2.BC.BD}} = \frac{{{x^2}}}{{BC.BD}} > 0 \Rightarrow \widehat {CBD} < {90^^\circ }\)

Tương tự chứng minh trên ta cũng có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {BDC} < {{90}^o}}\\{\widehat {BCD} < {{90}^o}}\end{array}} \right. \Rightarrow \) tam giác BCD có 3 góc nhọn.

=> Mệnh đề 3 sai