Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a;AC=BD=b;AD=BC=c . Giá trị côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD.

Ta có PM // BDPN//AC⇒BD,AC^=PM,PN^.

Theo công thức tính đường trung tuyến ta có

CM2=CA2+CB22−AB24=2b2+c2−a24.

Tương tự DM2=2b2+c2−a24 nên:

MN2=MC2+MD22−CD24=2b2+c24−a24=b2+c2−a22

Áp dụng định lí Cô-sin cho tam giác PMN ta có:

cosMPN^=PM2+PN2−MN22PM.PN=b22+b22−b2+c2−a222b2b2=a2−c2b2.

Vậy cosAC,BD^=a2−c2b2.