Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC.  a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm

a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC.

Xét ∆BAD và ∆CDA, ta có:

BA=CDBD=CAAD chung

Do đó ∆BAD = ∆CDA (c.c.c)

Ta có BE = CE (2 đường trung tuyến ứng với cạnh AD).

Suy ra ∆BEC cân tại E nên EF ⊥ BC.

Chứng minh tương tự, ta có: EF ⊥ AD.

Vậy đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.

b)Gọi G, H lần lượt là các trung điểm của 2 cạnh AB và CD.

Theo tính chất đường trung bình, ta có:

 EH=GF=12ACEG=HF=12BDAC = BD gtÞ EH = GF = EG = HF

Khi đó, EHFG là hình thoi, suy ra EF ^ GH.

Vậy hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.