Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC

22/38

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \), \(\widehat {CAD} = 90^\circ \). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {IJ} \)?

\(120^\circ \).

\(60^\circ \).

\(45^\circ \).

\(90^\circ \).

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC (ảnh 1)

Ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)\).

Vì tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.

Suy ra \(CI \bot AB\).

Tương tự ta có tam giác \(ABD\) đều nên \(DI \bot AB\).

Xét: \(\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {ID} .\overrightarrow {AB} \)\( = \overrightarrow 0 \).

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {IJ} ,\overrightarrow {AB} } \right) = 90^\circ \).