Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với AB = 6a

Đáp án A

Phương pháp giải:

- Gọi \({M_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {N_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {P_1}\) lần lượt là trung điểm của \(BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD\), sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Simpson, so sánh \({V_{AMNP}}\) và \({V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}}\).

- Tiếp tục so sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao \(A.{M_1}{N_1}{P_1}\) và \(A.BCD\), sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích hai đáy.

- Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\)là \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD\), từ đó tính được \({V_{AMNP}}\).

Giải chi tiết:

Gọi \({M_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {N_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {P_1}\)lần lượt là trung điểm của \(BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD\), ta có:

\(\frac{{AM}}{{A{M_1}}} = \frac{{AN}}{{A{N_1}}} = \frac{{AP}}{{A{P_1}}} = \frac{2}{3}\)

Khi đó \(\frac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}}}} = \frac{{AM}}{{A{M_1}}}.\frac{{AN}}{{A{N_1}}}.\frac{{AP}}{{A{P_1}}} = \frac{8}{{27}}\)

Dễ thấy \[\Delta {M_1}{N_1}{P_1}\]đồng dạng với tam giác \[DBC\] theo tỉ số \[k = \frac{1}{2}\] nên \[\frac{{{S_{{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{S_{DBC}}}} = \frac{1}{4}\].

Mà hai khối chóp \[A.{M_1}{N_1}{P_1}\] và \[A.BCD\]có cùng chiều cao nên \(\frac{{{V_{A.{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{{S_{{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{S_{DBC}}}} = \frac{1}{4}\).

Lại có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD = \frac{1}{6}.6a.9a.3a = 27{a^3}\).

\( \Rightarrow {V_{A.{M_1}{N_1}{P_1}}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}} = \frac{{27{a^3}}}{4}\)

Vậy \({V_{AMNP}} = \frac{8}{{27}}{V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}} = \frac{8}{{27}}.\frac{{27{a^3}}}{4} = 2{a^3}\).