Cho tứ diện A B C D . Đặt −−→ AB = → a , −−→ AC = → b , −−→ AD = → c , gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

11/22

Cho tứ diện \[ABCD\]. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c ,\]gọi G là trọng tâm của tam giác \[BCD\]. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

\[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].

\[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].

\[\overrightarrow {AG} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \].

\[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].

Giải thích

Chọn A

$Chọn A + TXĐ: \(D = \mathbb{R}\ (ảnh 1)$

Gọi M là trung điểm CD

Ta có:

\[\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - 2\overrightarrow a } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].