Cho tứ diện A B C D có cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A B , C D . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

1. Mệnh đề sai

2. Mệnh đề đúng: Vì \[M\]là trung điểm \[AB\]nên \[\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  = 2\overrightarrow {EM} \], \[N\]là trung điểm \[CD\]nên \[\overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = 2\overrightarrow {EN} \]

Ta có  \[\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = 2\left( {\overrightarrow {EM}  + \overrightarrow {EN} } \right) = \vec 0\]

3. Mệnh đề đúng: Vì \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \]

\[\begin{array}{l} = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {CB} \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD}  = \vec 0\end{array}\]

4. Mệnh đề đúng:

Gọi \(M\) là điểm thoả mãn hệ thức \(3\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0\) suy ra \[M\] cố định vì \(A,B,C,D\) cố định. Ta có

\(P = 3{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + {\overrightarrow {IC} ^2} + {\overrightarrow {ID} ^2} = 3{\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MD} } \right)^2}\)

\( = 6I{M^2} + 3M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} + 2\overrightarrow {IM} \left( {3\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right)\)

\( = 6I{M^2} + 3M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\).

Do đó để \(P\) nhỏ nhất thì \[I\] trùng với \(M\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\).

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MA}  + \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = \vec 0\\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MG}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MG}  = \vec 0\end{array}\)

Suy ra \[M\] là trung điểm của \(AG\).

Ta có \(BG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow MA = \frac{1}{2}AG = \frac{a}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow M{A^2} = \frac{{{a^2}}}{6}\).

Lại có \(M{D^2} = M{C^2} = M{B^2} = M{G^2} + B{G^2} = \frac{{{a^2}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất là \[P = 3.\frac{{{a^2}}}{6} + 3.\frac{{{a^2}}}{2} = 2{a^2}\] khi \[I\] trùng với \(M\).