Cho tứ diện A B C D có A B = A C = A D = a và ˆ B A C = ˆ B A D = 60 ∘ , ˆ C A D = 90 ∘ . Gọi I là điểm trên cạnh A B sao cho A I = 3 I B và J là trung điểm của C D . Gọi α là
13/22
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD = a\) và \[\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ ,\,\widehat {CAD} = 90^\circ \]. Gọi \(I\) là điểm trên cạnh \(AB\) sao cho \(AI = 3IB\) và \(J\) là trung điểm của \(CD\). Gọi \[\alpha \] là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {IJ} \).
a) Tam giác \(BCD\) vuông cân
b)\(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} \)
c)\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}\]
d)\[\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]
a) (Đ). b) (S). c) (S). d) (Đ).
a) Dễ thấy tam giác \(ABC,ABD\) đều cạnh bằng \(a\), tam giác \(ACD\) vuông cân đỉnh \(A \Rightarrow CD = a\sqrt 2 \). Vậy tam giác \(BCD\) có \(BC = BD = a,CD = a\sqrt 2 \)nên tam giác \(BCD\) vuông cân.
b) \(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AJ} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} \).
c) Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = 0\); \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.cos60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\]; \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}\].
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = {a^2}\].
d) Ta có \(I{J^2} = {\overrightarrow {IJ} ^2}\, = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right)^2}\)\( = \frac{1}{4}\left( {\frac{{17}}{4}{a^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \frac{{5{a^2}}}{{16}} \Rightarrow IJ = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\).
\(\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {AB} = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - \frac{3}{2}{{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = - \frac{{{a^2}}}{4}.\)
\(\cos \left( {\overrightarrow {IJ} \,,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB} }}{{IJ.AB}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{4}.a}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).