Cho tích phân I = tích phân dx / 3 + căn (2x+1) = a + bln2/3 với a,b là các số nguyên

31/150

Cho tích phân \[I = \int\limits_0^4 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 + \sqrt {2x + 1} }}} = a + b\ln \frac{2}{3}\] với \[a,\,\,b\] là các số nguyên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

\(a + b = 3.\)

\(a - b = 3.\)

\(a - b = 5.\)

\(a + b = 5.\)

Giải thích

Đặt \(t = \sqrt {2x + 1} \Leftrightarrow {t^2} = 2x + 1 \Leftrightarrow 2t\;{\rm{d}}t = 2\;{\rm{d}}x \Leftrightarrow {\rm{d}}x = t\;{\rm{d}}t.\) Đổi cận \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = 4 \Rightarrow t = 3}\end{array}} \right..\)

Do đó \[I = \int\limits_1^3 {\frac{{t\;{\rm{d}}t}}{{3 + t}}} = \int\limits_1^3 {\frac{{t + 3 - 3}}{{t + 3}}} \;{\rm{d}}t = \int\limits_1^3 {\left( {1 - \frac{3}{{t + 3}}} \right)} \;{\rm{d}}t\]

\( = \left. {\left( {t - 3\ln \left| {t + 3} \right|} \right)} \right|_1^3 = \left( {3 - 3\ln 6} \right) - \left( {1 - 3\ln 4} \right) = 2 + 3 \cdot \ln \frac{2}{3}.\)

Vậy \(a = 2,\,\,b = 3\) nên \(a + b = 5.\) Chọn D.