Cho tích phân \[I = \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx} \] và \[t = \sqrt {x + 1} \]. Mệnh đề nào dưới đây sai?

45/120

Cho tích phân \[I = \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx} \] và \[t = \sqrt {x + 1} \].Mệnh đề nào dưới đây sai?

\[I = \left. {\left( {\frac{{2{t^3}}}{3} - {t^2}} \right)} \right|_1^2\]

\[I = \int\limits_1^2 {\left( {2{x^2} - 2x} \right)dx} \]

\[I = \int\limits_0^3 {\left( {2{t^2} - 2t} \right)dt} \]

\[I = \int\limits_1^2 {\left( {2{t^2} - 2t} \right)dx} \]

Giải thích

Phương pháp giải:

- Tính vi phân \[dx\] theo \[dt\], đổi cận.

- Thay vào tính tìm tích phân và kết luận.

Giải chi tiết:

\[I = \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx} \]

Đặt \[t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx\]

Đổi cận \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = 3 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow I = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}.2tdt} = \int\limits_1^2 {2t\left( {t - 1} \right)dt} = \int\limits_1^2 {\left( {2{t^2} - 2t} \right)dt} = \left. {\frac{2}{3}{t^3} - {t^2}} \right|_1^2\]

Đối chiếu các đáp án ta thấy A, B, D đúng.

Đáp án C sai vì quên không đổi cận.