Cho tích phân (ax^2+bx+5)e^xdx = (3x^2 - 8x + 13)e^x+C với a,b là các số nguyên

Xét \(I = \int {\left( {a{x^2} + bx + 5} \right)\,} {e^x}\;{\rm{d}}x\). Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = a{x^2} + bx + 5 \Rightarrow {\rm{d}}u = (2ax + b){\rm{d}}x}\\{\;{\rm{d}}v = {e^x}\;{\rm{d}}x \Rightarrow v = {e^x}}\end{array}} \right.\).

Khi đó: \(I = \int {\left( {a{x^2} + bx + 5} \right)} \,{e^x}\;{\rm{d}}x = \left( {a{x^2} + bx + 5} \right){e^x} - \int {(2ax + b)} \,{e^x}\;{\rm{d}}x\)

\( = \left( {a{x^2} + bx + 5} \right){e^x} - \left( {2ax + b} \right){e^x} + \int 2 a \cdot {e^x}\;{\rm{d}}x\)

\( = \left( {a{x^2} + bx + 5} \right){e^x} - \left( {2ax + b} \right){e^x} + 2a{e^x} + C\)\[ = {e^x}\left[ {a{x^2} + \left( {b - 2a} \right) + \left( {5 - b + 2a} \right)} \right] + C.\]

Ta có \(\int {\left( {a{x^2} + bx + 5} \right)\,} {e^x}\;{\rm{d}}x = \left( {3{x^2} - 8x + 13} \right){e^x} + C\)

\( \Leftrightarrow {e^x}\left[ {a{x^2} + \left( {b - 2a} \right) + \left( {5 - b + 2a} \right)} \right] + C = \left( {3{x^2} - 8x + 13} \right){e^x} + C\)

\( \Leftrightarrow a{x^2} + \left( {b - 2a} \right) + \left( {5 - b + 2a} \right) = 3{x^2} - 8x + 13\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b - 2a =  - 8}\\{5 - b + 2a = 13}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b =  - 2}\end{array}} \right.} \right.\) (thoả mãn)

Suy ra \(S = a + b = 1.\) Chọn A.