Cho tập hợp sau: A={x∈R|−7<x≤4}; B={x∈R|2+m−4x≥0}. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m để A∩B chứa đúng 7 số nguyên?

Ta có \(A = \left( { - 7;4} \right]\). Các số nguyên thuộc tập \(A\) là \(\left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Biến đổi điều kiện của tập \(B\):

\(2 + m - 4x \ge 0 \Leftrightarrow 4x \le m + 2 \Leftrightarrow x \le \frac{{m + 2}}{4}\)

Do đó, tập hợp \(B = \left( { - \infty ;\frac{{m + 2}}{4}} \right]\).

Khi đó giao của hai tập hợp là:

\(A \cap B = \left( { - 7;\frac{{m + 2}}{4}} \right] \cap \left( { - 7;4} \right]\)

Để \(A \cap B\) chứa đúng 7 số nguyên, các số nguyên này bắt buộc phải là 7 số nguyên nhỏ nhất bắt đầu từ cận \( - 7\) tiến lên, đó là: \( - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1,0\).

Để tập hợp chứa số \(0\) nhưng không chứa số nguyên tiếp theo là số \(1\), điều kiện của giá trị biên là:

\(0 \le \frac{{m + 2}}{4} < 1\)

Giải hệ bất phương trình trên:

\(0 \le m + 2 < 4 \Leftrightarrow - 2 \le m < 2\)

Vì \(m\) là giá trị nguyên, nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Tổng tất cả các giá trị nguyên của \(m\) thu được là:

\(\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 + 1 = - 2\)

Đáp số: -2