$Nên \(\widehat {AKD} = \widehat {BOF} = \wid (ảnh 1)$

a) Vì \(SA,SB\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {SAO} = \widehat {SBO} = 90^\circ \)

\(\Delta SAO\) vuông tại \(A\) nên \(\Delta SAO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\).

\(\Delta SBO\) vuông tại \(B\) nên \(\Delta SBO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\).

Nên bốn điểm \(S,A,O,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\).

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(SA = SB\)

và \(OA = OB\) (đều bằng bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\)) nên \(SO\) là trung trực của \(AB\).

Suy ra \(SO \bot AB\) tại trung điểm \(F\) của \(AB\).

$Δ O A F ∽ Δ O S A$ (g.g) vì \(\widehat {OAS} = \widehat {OFA} = 90^\circ \) và chung \(\widehat {SOA}\)

Suy ra \(\frac{{OA}}{{OS}} = \frac{{OF}}{{OA}}\) nên \(O{A^2} = OF \cdot OS\)

Mà \(OA = OC\) nên \(O{C^2} = OF \cdot OS\) hay \(\frac{{OC}}{{OF}} = \frac{{OS}}{{OC}}\)

$Δ O C F ∽ Δ O S C$ (c.g.c) vì chung \(\widehat {SOC}\) và \(\frac{{OC}}{{OS}} = \frac{{OF}}{{OC}}\)

Suy ra \(\widehat {OCF} = \widehat {OSC}\)

Vì \(SO \bot AB\) và \(BA \bot AC\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(SO\,{\rm{//}}\,AC\)

Suy ra \(\widehat {OSC} = \widehat {ACS}\) (hai góc so le trong)

Nên \(\widehat {OCF} = \widehat {ACS}\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(\widehat {FBC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

Do đó, $Δ C B F ∽ Δ C D A$ (g.g) vì: \(\widehat {CBF} = \widehat {CDA}\) và \(\widehat {BCF} = \widehat {ACD}\)

Suy ra \(\frac{{BC}}{{BF}} = \frac{{DC}}{{DA}}\) hay \(\frac{{2BO}}{{BF}} = \frac{{2DK}}{{DA}}\) nên \(\frac{{BO}}{{BF}} = \frac{{DK}}{{DA}}\) hay \(\frac{{BF}}{{DA}} = \frac{{BO}}{{DK}}\) (vì \[O,{\rm{ }}K\] lần lượt là trung điểm của \[BC,{\rm{ }}DC)\]

$Δ B F O ∽ Δ D A K$ (c.g.c) vì: \(\widehat {FBO} = \widehat {KDA}\) và \(\frac{{BF}}{{DA}} = \frac{{BO}}{{DK}}\)

Suy ra \(\widehat {DAK} = \widehat {BFO} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {DAE} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))

Nên ba điểm \[A,{\rm{ }}K,{\rm{ }}E\] thẳng hàng.

Lại có: \(\widehat {BDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))

Nên \(\widehat {SDB} = 90^\circ \)

\(\Delta SDB\) vuông tại \[D\] nên \(\Delta SDB\) nội tiếp đường tròn đường kính \[SB.\]

\(\Delta SFB\) vuông tại \[F\] nên \(\Delta SFB\) nội tiếp đường tròn đường kính \[SB.\]

Nên bốn điểm \[S,{\rm{ }}D,{\rm{ }}F,{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[SB.\]

Suy ra \(\widehat {SDF} + \widehat {SBF} = 180^\circ \) (tính chất)

Do đó, \(\widehat {CDF} = 180^\circ - \widehat {SDF} = \widehat {SBF}\)

Từ $Δ B F O ∽ Δ D A K$ suy ra \(\widehat {AKD} = \widehat {BOF}\)

Mà \(\widehat {BOF} = \widehat {SBF\,\,}\left( { = 90^\circ - \widehat {FOB}} \right)\)

Nên \(\widehat {AKD} = \widehat {BOF} = \widehat {SBF} = \widehat {CDF}\) và hai góc ở vị trí so le trong

Suy ra \[DF\,{\rm{//}}\,EK.\]

Cho tam giác ABC như hình vẽ bên. Tính sin góc BAC.