Cho tam giác vuông cân OBM tại O có OB = OM = 1. Lấy B1,A1,M1 lần lượt là trung điểm của các các cạnh OB,OM,MB rồi tô màu tam giác A1M1M
12/19
Cho tam giác vuông cân \(OBM\) tại \(O\) có \(OB = OM = 1\). Lấy \({B_1},\,{A_1},\,{M_1}\) lần lượt là trung điểm của các các cạnh \(OB,\,OM,\,MB\) rồi tô màu tam giác \({A_1}{M_1}M\). Lấy \({B_2},\,{A_2},\,{M_2}\) lần lượt là trung điểm các cạnh \({B_1}B,\,{B_1}{M_1},\,{M_1}B\) rồi tô màu tam giác \({A_2}{M_2}{M_1}\). Tiếp tục quá trình đó ta được một dãy các tam giác được tô màu (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính tổng diện tích các hình tam giác được tô màu.
Lời giải
Diện tích của tam giác \({A_1}{M_1}M\) là \({u_1} = \frac{1}{2}{A_1}{M_1}.{A_1}M = \frac{1}{8}\)
Diện tích của tam giác \({A_2}{M_2}{M_1}\) là \({u_2} = \frac{1}{2}{A_2}{M_2}.{A_2}{M_1} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{32}} = {u_1}.\frac{1}{4}\)
Diện tích của tam giác \({A_3}{M_3}{M_2}\) là \({u_3} = \frac{1}{2}{A_3}{M_3}.{A_3}{M_2} = \frac{1}{2}.\frac{1}{8}.\frac{1}{8} = \frac{1}{{128}} = {u_2}.\frac{1}{4}\)
….
Suy ra ta được một dãy các tam giác mà diện tích của các tam giác là các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{8}\), công bội \(q = \frac{1}{4}\).
Vậy tổng diện tích của các tam giác là: \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{8}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{6}\).