Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là AB = 1 , AC = 2 . Điểm N thỏa mãn vecto CN = vecto CA + vecto CB + vecto CI với I là trung điểm AB . Tính độ dài vectơ CN ?

Vẽ hình bình hành \(ACBD\), ta có: \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CD} \).

Khi đó: \(\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CI}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CI} \).

Lấy điểm \(N\) đối xứng với \(I\) qua \(D\), ta có \(\overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {DN} \).

Do đó: \(\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CI}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DN}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CN} \) (thỏa mãn).

Ta có \(:|\overrightarrow {CN} | = CN = 3CI\) với \(CI = \sqrt {A{C^2} + A{I^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {17} }}{2}\).

Vậy \(|\overrightarrow {CN} | = \frac{{3\sqrt {17} }}{2}\).