Cho tam giác SAB vuông tại A và góc SBA = 60 độ. Đường phân giác của góc SAB cắt SA tại I
48/150
Cho tam giác \[SAB\] vuông tại \(A\) và \(\widehat {SBA} = 60^\circ .\) Đường phân giác của góc \(\widehat {SBA}\) cắt \[SA\] tại \[I.\] Vẽ nửa đường tròn tâm \(I,\) bán kính \[IA\] (như hình bên). Cho miền tam giác \[SAB\] và nửa hình tròn quay xung quanh trục \[SA\] tạo nên các khối tròn xoay có thể tích tương ứng là \({V_1},{V_2} \cdot \) Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng
Đặt \(SA = h\).
\(\Delta SAB\) vuông tại \(A \Rightarrow AB = \frac{{SA}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{h}{{\sqrt 3 }}\).
\(\Delta IAB\) vuông tại \(A \Rightarrow \tan \widehat {IBA} = \frac{{IA}}{{AB}} \Rightarrow IA = \frac{h}{3}\).
Khi quay \(\Delta SAB\) quanh trục SA, ta được khối nón có chiều cao \(h,\,\,r = \frac{h}{{\sqrt 3 }}\) và quay nửa đường tròn quanh trục \[SA,\] ta được khối cầu có bán kính \(R = \frac{h}{3}\).
Ta có \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{h}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \cdot h = \frac{{\pi {h^3}}}{9}\); \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^2} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{h}{3}} \right)^3} = \frac{{4\pi {h^3}}}{{81}}\)
\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{4}\).
Đáp án: \(\frac{9}{4}.\)