Cho tam giác \(SAB\) vuông tại \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\widehat {ABS} = 60^\circ \). Phân giác của góc \(\widehat {ABS}\) cắt \(SA\) tại \(I.\)
24/150
Cho tam giác \(SAB\) vuông tại \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\widehat {ABS} = 60^\circ \). Phân giác của góc \(\widehat {ABS}\) cắt \(SA\) tại \(I.\) Vẽ nửa đường tròn tâm \(I\), bán kính \(IA\) (như hình vẽ). Cho miền tam giác \(SAB\) và nửa hình tròn quay xung quanh trục \(SA\) tạo nên các khối tròn xoay có thể tích tương ứng là \[{V_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,{V_2}\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[{V_1} = \frac{4}{9}{V_2}\].
\[{V_1} = \frac{3}{2}{V_2}\].
\[{V_1} = 3{V_2}\].
\({V_1} = \frac{9}{4}{V_2}\).
Quay miền tam giác \(SAB\) quanh cạnh \(SA\) ta được khối nón có chiều cao \(h = SA\), bán kính đáy \(R = AB\)\( \Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}\pi \cdot A{B^2} \cdot SA\)
Quay nửa hình tròn quanh cạnh \(SA\) ta được khối cầu có bán kính \(IA\).
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{IA}}{{IS}} = \frac{{AB}}{{SB}} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow IA = \frac{1}{2}IS \Rightarrow IA = \frac{1}{3}SA\)
\( \Rightarrow {V_2} = \frac{4}{3}\pi .I{A^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{{S{A^3}}}{{27}} = \frac{{4\pi S{A^3}}}{{81}}\)
\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi \cdot A{B^2} \cdot SA}}{{\frac{{4\pi S{A^3}}}{{81}}}} = \frac{{27}}{4} \cdot \frac{{A{B^2}}}{{S{A^2}}} = \frac{{27}}{4} \cdot {\left( {\frac{{AB}}{{SA}}} \right)^2} = \frac{{27}}{4} \cdot {\left( {\cot 60^\circ } \right)^2} = \frac{{27}}{4} \cdot {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{9}{4}\).
Chọn D.