Cho tam giác OAB và OBC lấn lượt vuông tại A và B như Hình 1. Các cạnh AB

Ta có OB = x (cm)

Khi đó AB = BC = x – 1 (cm). Do đó x > 1

Xét tam giác OBC vuông tại B, có:

OC² = OB² + BC² (định lí Py – ta – go)

⇔ OC² = x² + (x – 1)² = 2x² – 2x + 1

⇔ OC = \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \)

Xét tam giác OAB vuông tại A, có:

OB² = AB² + OA² (định lí Py – ta – go)

⇔ OA² = OB² – AB²

⇔ OA² = x² – (x – 1)² = x² – (x² – 2x + 1) = 2x – 1

⇔ OA = \(\sqrt {2x - 1} \)

a) Vì OC = 3OA nên \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \) = 3\(\sqrt {2x - 1} \)

⇒ 2x² – 2x + 1 = 9(2x – 1)

⇒ 2x² – 2x + 1 = 18x – 9

⇒ 2x² – 20x + 10 = 0

⇒ x² – 10x + 5 = 0

⇒ x = 5 + 2\(\sqrt 5 \) hoặc x = 5 – 2\(\sqrt 5 \).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị của x đều là nghiệm của phương trình đã cho. Tuy nhiên x = 5 – 2\(\sqrt 5 \)(không thỏa mãn x > 1)

Vậy với x = 5 + 2\(\sqrt 5 \)(cm) thì OC = 3OA.

b) Vì OC = \(\frac{5}{4}\)OB nên \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \) = \(\frac{5}{4}\)x

⇒ 2x² – 2x + 1 = \(\frac{{25}}{{16}}\)x²

⇒ 16(2x² – 2x + 1) = 25x²

⇒ 7x² – 32x + 16 = 0

⇒ x = 4 hoặc x = \(\frac{4}{7}\).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị của x đều là nghiệm của phương trình đã cho. Tuy nhiên x = \(\frac{4}{7}\) (không thỏa mãn x > 1)

Vậy với x = 4 (cm) thì OC = \(\frac{5}{4}\)OB.