Cho tam giác OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và
13/13
Cho tam giác OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và \[\widehat {AOB} = \alpha {\rm{ }}\left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)\]. Gọi (B) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh Ox như hình vẽ
a) Tính thể tích V của (B) theo a và \[\alpha \].
b) Tìm \[\alpha \] sao cho thể tích V lớn nhất.
a) Xét tam giác OAB vuông tại A , có \({\rm{AB}} = {\rm{OA}}\). tana = a.tana.
Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy \({\rm{r}} = {\rm{AB}} = {\rm{a}}\).tana và chiều cao \({\rm{h}} = {\rm{OA}} = {\rm{a}}\).
Do đó \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \)
b) Có \({V^\prime } = \frac{1}{3}\pi {a^3} \cdot 2\tan \alpha \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)
Vi \(0 < \alpha \le \frac{\pi }{4} = > 0 < \) tan \(\alpha \le 1\) nên \({V^\prime } > 0\). Do đó \(V\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\)
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}\)
Vậy \(\alpha = \frac{\pi }{4}\) thì thể tích khối nón là lớn nhất.