Cho tam giác nhọn ABC, với AB < AC, nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn

4/6

Cho tam giác nhọn ABC, với AB < AC, nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở D. Đường tròn đường kính AD cắt đường tròn đường kính OD tại điểm E (khác D). Gọi F là giao điểm của đoạn thẳng OE và đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng 3 điểm A, O, E thẳng hàng và CF là tia phân giác của góc BCE.

b) Các tia AB, AC lần lượt cắt đường tròn đường kính AD tại các điểm G, K (đều khác A). Chứng minh rằng OD đi qua trung điểm của đoạn thẳng GK.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác nhọn ABC, với AB < AC, nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (ảnh 1)

a) Chứng minh \(A,O,E\)và CF là tia phân giác của \(\widehat {BCE}\).

b) Các tia AB, AC lần lượt cắt đường tròn đường kính AD tại các điểm G, K (khác A). Chứng minh rằng OD đi qua trung điểm của đoạn thẳng GK.

a) + Xét đường tròn đường kính OD:

\(\widehat {OED} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+Xét đường tròn đường kính AD:

\(\widehat {AED} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {OED} = \widehat {AED} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \overline {A,O,E} \)

+Trong đường tròn đường kính AD:

\(\widehat {BCE} = \widehat {BOE}\) (cùng chắn )

+ Trong đường tròn (O):

\(\widehat {BCF} = \frac{1}{2}\;\widehat {BOE}\;\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn )

\( \Rightarrow \widehat {BCF} = \frac{1}{2}\;\widehat {BCE}\)

\( \Rightarrow \) CF là tia phân giác của \(\widehat {BCE}\)

b) + Gọi I là giao điểm thức hai của AD và (O) và L là giao điểm của GK và OD.

+ Gội M là giao điểm của OD và BC. Dễ dàng ta chứng minh được OD là trung trực của BC.

\(\widehat {CMD} = 90^\circ \;m\`a \;\widehat {CKD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD)

\( \Rightarrow \) CMDK nộp tiếp\( \Rightarrow \widehat {LDK} = \widehat {ACB}\), mà \(\widehat {ACB} = \widehat {AIB}\) (cùng chắn của (O))\( \Rightarrow \widehat {LDK} = \widehat {AIB}\)

+ \(\widehat {BAI} = \widehat {DKL}\) (cùng chắn của đường tròn đường kính AD)

Ta được: (g – g ) \( \Rightarrow \frac{{LK}}{{LD}} = \frac{{BA}}{{BI}}\)

Tương tự: (g – g ) \( \Rightarrow \frac{{LG}}{{LD}} = \frac{{CA}}{{CI}}\)

Mà \(\frac{{BA}}{{BI}} = \frac{{CA}}{{CI}}\)

Đây là bổ đề quen thuộc từ hai tiếp tuyến và một cát tuyến, ta chứng minh được như sau:

(g – g) \( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{DI}}\)

(g – g) \( \Rightarrow \frac{{CA}}{{CI}} = \frac{{CD}}{{DI}}\)

Mà \(\frac{{BD}}{{DI}} = \frac{{CD}}{{DI}}\) nên \(\frac{{BA}}{{BI}} = \frac{{CA}}{{CI}}\)

Do đó: \(\frac{{LK}}{{LD}} = \frac{{LG}}{{KD}} \Rightarrow LK = LG\)

Vậy OD đi qua trung điểm L của GK