Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH = 2OM.

Kẻ đường cao CD của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của cạnh AC.

Khi đó tam giác AOC cân tại O nên ON cũng là đường phân giác của góc AOC.

Do vậy \[\widehat {AON} = \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = \widehat {ABC}.\]

Suy ra \(\widehat {NAO} = 90^\circ - \widehat {AON} = 90^\circ - \widehat {ABC} = \widehat {DAH}.\)

Tương tự \[\widehat {MCO} = 90^\circ - \widehat {COM} = 90^\circ - \widehat {DAC} = \widehat {DCA}.\]

Hai tam giác NAO và DAH có:

\(\widehat {NAO} = \widehat {DAH}\) (chứng minh trên), \(\widehat {ANO} = \widehat {ADH} = 90^\circ .\)

Do đó ∆NAO ᔕ ∆DAH (g.g).

Suy ra \(\frac{{AO}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{AD}},\) hay \(AH = \frac{{AO.AD}}{{AN}} = \frac{{2AO.AD}}{{AC}}.\) (1)

Hai tam giác OMC và ADC có:

\[\widehat {MCO} = \widehat {DCA}\] (chứng minh trên), \[\widehat {OMC} = \widehat {ADC} = 90^\circ .\]

Vì vậy ∆OMC ᔕ ∆ADC (g.g).

Suy ra \(\frac{{OM}}{{AD}} = \frac{{OC}}{{AC}}.\)

Do đó\(2OM = \frac{{2OC.AD}}{{AC}} = \frac{{2OA.OC}}{{AC}} = AH\) (theo (1)).