Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. 1) Tính BDC

a) Ta có BD ^ AC (gt) Þ  BDC^= 90°

b) Ta có

CE ^ AB (gt) Þ  AEC^ = 90°

BD ^ AC (gt) Þ BDA^ = 90°

Þ AEC^+BDA^= 180°

Þ AEHD là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°).

3) Xét ∆BHQ và ∆CHP có:

 BHQ^=CHP^(Hai góc đổi đỉnh)

 BQH^=CPH^(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC của đường tròn (O)).

Nên ∆BHQ  ∽∆CHP (g.g)

Þ  BHCH=HQHPÞ HB.HP = HC.HQ

4) Ta có

  BDC^=BEC^= 90° (chứng minh trên)

Mà hai góc BDC^  và  BEC^ cùng nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông

Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Þ BDE^=BCQ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung BE của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE) (1).

Có  BCQ^=QPB^(góc nội tiếp cùng chắn cung BQ của đường tròn (O)) (2).

Từ (1) và (2) Þ  QPB^=BDE^

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị Þ PQ // DE (*).

Ta có  DCE^=DBE^(góc nội tiếp cùng chắn cung DE của đường tròn nội tiếp tứ giác BCDE).

Hay  ACQ^=ABP^ Û AP = AQ (3).

Mặt khác: OP = OQ (cùng là bán kính của đường tròn (O)) (4).

Từ (3) và (4) Þ OA là đường trung trực của đoạn thẳng PQ Þ OA ^ PQ (*)(*).

Từ (*) và (*)(*) suy ra OA ^ DE (đpcm).