Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Vẽ đường kính

3/5

Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Vẽ đường kính $AT$ của đường tròn $\left( O \right)$ và lấy điểm $P$ trên đoạn thẳng $OT\,\,\left( {P \ne T} \right).$ Gọi $E$ và $F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $P$ trên các đường thẳng $AC$ và $AB.$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên cạnh $BC.$

a) Chứng minh \[\widehat {OAB}\, = \widehat {HAC}\] và hai đường thẳng $BC,\,\,EF$ song song với nhau.

b) Cho $AH$ và \[EF\]cắt nhau tại $U;$ điểm $Q$ di động trên đoạn thẳng $UE\,\,\left( {Q \ne U,\,\,\,Q \ne E} \right).$Đường thẳng vuông góc với AQ tại điểm Q cắt các đường thẳng $PE,\,\,PF$ tương ứng tại $M,\,\,N.$ Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN.$ Chứng minh bốn điểm \[A,\,\,M,\,\,N,\,\,P\] cùng thuộc một đường tròn và $\widehat {OAH} = \widehat {KAQ}.$

c) Kẻ $KD$ vuông góc với $BC\,\,\left( {D \in BC} \right).$ Chứng minh đường thẳng đi qua điểm $D$ và song song với $AQ$ luôn đi qua một điểm cố định.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Vẽ đường kính (ảnh 1)$

Ta có $\widehat {BAH} = \widehat {OAC}$ do cùng phụ với $\widehat {ABC}$, suy ra \[\widehat {PAF} = \widehat {HAC}\].

Có AEPF là tứ giác nội tiếp, suy ra \[\widehat {AEF} = \widehat {APF}\]

Có \[\widehat {APF} = {90^0} - \widehat {PAF}\] và $\widehat {ACB} = {90^0} - \widehat {HAC}$\[ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ACB} \Rightarrow EF//BC\]

AQEMlà tứ giác nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AEF} = \widehat {APN} \Rightarrow \]$A,M,N,P$ cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có $\widehat {AMN} = \widehat {ACB}$, tương tự $\widehat {ANM} = \widehat {ABC}$

$\widehat {OAH} = \widehat {OAB} - \widehat {HAB} = {90^0} - \widehat {ACB} - \left( {{{90}^0} - \widehat {ABC}} \right)$

$ = {90^0} - \widehat {AMN} - \left( {{{90}^0} - \widehat {ANM}} \right) = \widehat {KAN} - \widehat {QAN} = \widehat {KAQ}$

Gọi $L$ là chân đường vuông góc hạ từ điểm $A$ xuống đường thẳng $KD$.

Từ $\widehat {OAH} = \widehat {KAQ} \Rightarrow \widehat {KAO} = \widehat {KAQ} - \widehat {OAQ} = \widehat {OAH} - \widehat {OAQ} = \widehat {QAH}$.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AP$ và J là giao điểm của đường thẳng qua D song song với AQ và đường thẳng qua I vuông góc với BC. $ \Rightarrow \widehat {QAH} = \widehat {JDL}$

$ \Rightarrow \widehat {ILK} = \widehat {JDL}$, mặt khác ta có IJ//LD nên suy ra tứ giác ILDJ (hoặc IJLD) là hình thang cân.

Suy ra, I và J đối xứng với nhau qua trung trực của DL, hay qua trung trực của AH.Do ALDH là hình chữ nhật (dễ thấy). Từ đây, vì I là điểm cố định và trung trực của AH là đường thẳng cố định nên J là điểm cố định.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử ab ≥ 0. Khi đó

$P + 3 \ge \frac{{{{\left( {a + b + 2} \right)}^2}}}{{{{(a + b)}^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} = \frac{{{{(c - 2)}^2}}}{{{c^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}}$.

Xét BĐT: $\frac{{{{(c - 2)}^2}}}{{{c^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} \ge \frac{3}{2} \Leftrightarrow {c^2}{\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0$ (đúng).

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hải Phòng có đáp án

Cho tam giác nhọn \(ABC\) không cân nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Vẽ đường kính