Cho tam giác nhọn ABC. Hãy nội tiếp trong tam giác ABC một tam giác có chu vi bé nhất.

Xét những tam giác nội tiếp PMN có đỉnh P cố định trên đáy BC.

Lấy P1,P2 đối xứng của P qua AB và AC, P1,P2 cắt AB, AC tại N và M. PMN là tam giác cần dựng vì chu vi tam giác PMN bằng PN+NM+MP=P1P2<P1N'+N'M'+M'P2 bằng
chu vi tam giác PM'N.

Như vậy, chúng ta cần phải tìm vị trí P để P1P2 là bé nhất.

Do P1P2 là đáy tam giác cân AP1P2 có P1AP2^=2BAC^ không đổi. Suy ra P1P2 đạt giá trị nhỏ nhất khi cạnh bên AP1=AP2=AP bé nhất khi AP⊥BC. Hay AP là đường cao của tam giác ABC.

Tương tự lập luận trên lấy điểm N thuộc AB cố định hay M thuộc AC cố định ta đi đến kết luận chu vi tam giác ABC bé nhất khi CN và BM là các đường cao của tam giác ABC.