Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Lấy D là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng DH đi qua trung điểm BC.

Vì AD là đường kính của (O) nên \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACD}\) là các góc nội tiếp của (O) chắn nửa đường tròn.

Do đó \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ ,\) hay DB ⊥ AB, DC ⊥ AC. (1)

Mặt khác, vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB. (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra BH // DC; CH // DB.

Do đó BHCD là hình bình hành.

Vì vậy BC và DH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng.