Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn 3/2 (HA + HB + HC)

Vẽ HM∥ACM∈AB,HN∥ABN∈AC.

Vì CH⊥AB nên CH⊥HN. Vì BH⊥AC nên BH⊥HM.

Xét ΔHBM vuông tại H có BM>HB.      (1)

Xét ΔHCN vuông tại H có CN>HC.       (2)

Xét hình bình hành ANHM có

AM+AN=AM+MH>HA..                   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

BM+CN+AM+AN>HB+HC+HA

do đó MB+AM+CN+AN>HA+HB+HC

hay AB+AC>HA+HB+HC.

Chứng minh tương tự, ta được: BC+BA>HA+HB+HC

                                         CA+CB>HA+HB+HC.

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:

2AB+BC+CA>3HA+HB+HC

Do đó AB+BC+CA>32HA+HB+HC.