Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại điểm H. 1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.

1) Xét tứ giác AEHF, có  AEH^+AFH^=180° mà hai góc ở vị trí đối nhau.

Vậy tứ giác AEHF nội tiếp

2) Xét tứ giác BFEC, có:  BFC^=BEC^=90° mà hai góc cùng nhìn cạnh BC.

Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp.

Do đó  FEC^+FBC^=180°.

Vậy  FEC^+ABC^=180°.

3) Tam giác ABC có BE ^ AC; CF ^ AB, BE và CF cắt nhau tại H.

Suy ra H là trực tâm tam giác ABC nên AH ^ BC tại D.

Khi đó  HEC^+HDC^=180°HFB^+HDB^=180° 

Do đó tứ giác BFHD và CEHD nội tiếp.

+ Tứ giác AEHF nội tiếp Þ  FAH^=FEH^Þ  FEH^=BAD^

Tứ giác CDHE nội tiếp Þ  HCD^=HED^ Þ  HED^=BCF^

Mà  BCF^=BAD^ (cùng phụ  B^)

Þ  FEH^=DEH^Þ EH là phân giác góc DEF.

+ Tứ giác AEHF nội tiếp Þ  EFH^=HAE^Þ  EFH^=DAC^

Tứ giác BFHD nội tiếp Þ  HFD^=HBD^Þ  HFD^=EBC^

Mà  EBC^=DAC^(cùng phụ  C^)

Þ  HFE^=HFD^

Þ FH là phân giác góc DFE

Mà FH và EH cắt nhau tại H

Þ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.