Cho tam giác nhọn ABC có AD, BE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H. M, N

a) Xét ΔABE và ΔACF có BAE^ chung; AEB^=AFC^=900

⇒ΔABE~ΔACF(g.g)⇒ABAC=AEAF

Xét ΔAEF và ΔABC có: EAF^ chung; AEAB=AFAC(cmt)⇒ΔAEF~ΔABC

b) ΔAEF~ΔABC⇒AEF^=ABC^

cmtt⇒DEC^=ABC^⇒AEF^=DEC^

Ta có DEC^+HED^=AEF^+HEF^=900 nên HED^=HEF^⇒EH là đường phân giác của ΔDEF. Chứng mnh tương tự ta cũng có DH là đường phân giác ΔDEF⇒H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF

c) Gọi Fx là tia đối của tia FD

Ta có: xFA^+DFC^=AFE^+EFC^=900 mà DFC^=EFC^, do đó xFA^=AFE^

A là giao điểm của đường phân giác D^ và đường phân giác ngoài đỉnh F nên A là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc D của ΔDEF. Chứng minh tương tự ta cũng có B,  C là tâm đường tròn bàng tiếp ΔDEF.

d) Theo bài PDEF=2EM,PDEF=2NF

⇒DE+DF+EF=EM+NF⇒DE+DF+EF=MN−EN+NF⇔DE+DF+EF=MN+EF⇔DE+DF=MN