Cho tam giác nhọn ABC có AB < BC. Từ trung điểm M của cạnh AB kẻ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC tại N. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = MN

a) Tứ giác \(BMND\)có:\[MN\parallel BD{\rm{ }}\left( {MN\parallel BC} \right)\]; \[MN = BD\] (gt)

Do đó, tứ giác \(BMND\)là hình bình hành.

b) Vì\(\Delta {\rm{ }}ABH\) vuông tại \(H\,\,\left( {AH \bot BC} \right)\) có \(HM\) là trung tuyến nên \(HM = \frac{1}{2}AB\).

Mà \(MA = \frac{1}{2}AB\)suy ra \(MA = HM\).

Vậy \(\Delta {\rm{ }}AMH\) cân tại \[M\].

c) Tứ giác \(DHMN\) có\[MN\parallel DH{\rm{ }}\left( {MN\parallel BC} \right)\] nên tứ giác \(DHMN\) là hình thang.        \(\left( 1 \right)\)

Ta có\(AH \bot BC\); \[MN\parallel BC\] nên \(AH \bot MN\).

Vì \(\Delta {\rm{ }}AMH\) cân tại \[M\] có \(AH \bot MN\) nên \(MN\) là phân giác của \(\Delta {\rm{ }}AMH\).

Do đó \(\widehat {AMN} = \widehat {HMN}.\)

Tứ giác \(BMND\)là hình bình hành nên \[ND\parallel MB\].

Do đó \(\widehat {AMN} = \widehat {DNM}\)       (so le trong) nên\(\widehat {HMN} = \widehat {DNM}\).     \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra tứ giác \(DHMN\) là hình thang cân.