Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC < BC, đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc

Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC < BC, đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại M. Lấy điểm E nằm giữa A và M. Trên cạnh AC, BC lần lượt lấy điểm D, F sao cho AD = AE và BF = BE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF lần lượt cắt AB và BC tại G (khác E) và H (khác F). Chứng minh rằng (O) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF và các đường thẳng CM, ED, GH đồng quy.

Gọi S là giao của DE và GH. Ta đi chứng minh C, M, S thẳng hàng.

Ta có \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \widehat {DHS} \Rightarrow \)CD là tiếp tuyến của (SHD) tại D

Tương tự ta cũng có CH là tiếp tuyến của (SHD) tại H

Khi đó SC là đường đối trung của tam giác SHD

Gọi N là trung điểm HD. Theo bổ đề đường dối trung, ta có:

\(\widehat {HSN} = \widehat {CSD}\) (1) Lại có tam giác SEGSHD

\( \Rightarrow \)Tam giác SEMSHN (Chia đôi tỉ số đường trung tuyến)

\( \Rightarrow \widehat {SEM} = \widehat {HSN}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {CSD} = \widehat {ESM} \Rightarrow \)(đpcm)