Cho tam giác nhọn ABC cân tại đỉnh A. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt tại F và E. a) Cho BE cắt CF tại H. Chứng minh rằng AH vuông góc với BC.

a) Gọi (O) là đường tròn đường kính BC.

Vì \(\widehat {BEC}\) và \(\widehat {CFB}\) là hai góc nội tiếp của (O) chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {BEC} = \widehat {CFB} = 90^\circ .\) Suy ra BE ⊥ AC, CF ⊥ AB.

Do đó H là trực tâm của tam giác ABC.

Vì vậy AH vuông góc với BC.

b) Vì \(\widehat {EFC}\) và \(\widehat {EBC}\) là hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung  nên \(\widehat {EFC} = \widehat {EBC}.\) (1)

Mặt khác, tam giác ABC cân tại A và các tam giác BCF, CBE lần lượt vuông tại F và E nên: \(\widehat {EBC} = 90^\circ  - \widehat {ECB} = 90^\circ  - \widehat {FBC} = \widehat {FCB}.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {EFC} = \widehat {FCB}.\) Do đó EF // BC (hai góc so le trong).